ماهي الاعداد الاولية

العدد الأولي هو الرقم الذي لا يمكن قسمته إلا على نفسه أو على 1 بدون باقٍ. العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1 وليس ناتجًا عن عددين طبيعيين أصغر. يسمى العدد الطبيعي الأكبر من 1 وليس عددًا أوليًا بالرقم المركب. على سبيل المثال ، 5 عدد أولي لأن الطرق الوحيدة لكتابتها كمنتج ، 1 × 5 أو 5 × 1 ، تتضمن 5 نفسها. ومع ذلك ، فإن 4 مركب لأنه منتج (2 × 2) يكون فيه كلا الرقمين أصغر من 4. الأعداد الأولية مركزية في نظرية الأعداد بسبب النظرية الحسابية الأساسية: كل رقم طبيعي أكبر من 1 هو إما أولي نفسه أو يمكن اعتبارها كمنتج من الأعداد الأولية التي تكون فريدة من نوعها حسب ترتيبها. هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ، كما أوضح إقليدس حوالي 300 قبل الميلاد. لا توجد صيغة بسيطة معروفة تفصل بين الأعداد الأولية والأرقام المركبة. ومع ذلك ، يمكن تمثيل توزيع الأعداد الأولية ضمن الأعداد الطبيعية في الحجم الكبير إحصائيًا. النتيجة الأولى في هذا الاتجاه هي نظرية الأعداد الأولية ، التي تم إثباتها في نهاية القرن التاسع عشر ، والتي تنص على أن احتمالية أن يكون عددًا كبيرًا تم اختياره عشوائيًا أولًا يتناسب عكسياً مع عدد أرقامه ، أي مع لوغاريتمه.

مقالات للقراءة:

قانون نظرية فيثاغورس

أنواع الهمزات

الاشهر الميلادية

تاريخ الاعداد الاولية

  • العديد من الأسئلة التاريخية المتعلقة بالأعداد الأولية لا تزال دون حل. وتشمل هذه تخمين جولدباخ ، أن كل عدد صحيح حتى أكبر من 2 يمكن التعبير عنه كمجموع اثنين من الأعداد الأولية ، والتخمين الأولي المزدوج ، أن هناك عددًا لا نهائيًا من أزواج الأعداد الأولية التي تحتوي على رقم زوجي واحد فقط بينهما. حفزت مثل هذه الأسئلة على تطوير فروع مختلفة من نظرية الأعداد ، مع التركيز على الجوانب التحليلية أو الجبرية للأرقام. تُستخدم الأعداد الأولية في العديد من الإجراءات الروتينية في تكنولوجيا المعلومات ، مثل تشفير المفتاح العام ، والتي تعتمد على صعوبة تحليل أعداد كبيرة في عواملها الأولية. في الجبر المجرد ، تشمل الأشياء التي تتصرف بطريقة معممة مثل الأعداد الأولية العناصر الأولية والمثل العليا.
  • تحتوي بردية ريند الرياضية ، من حوالي 1550 قبل الميلاد ، على توسعات كسرية مصرية بأشكال مختلفة للأعداد الأولية والمركبة. ومع ذلك ، فإن أقدم السجلات الباقية للدراسة الصريحة للأعداد الأولية تأتي من الرياضيات اليونانية القديمة. تثبت عناصر إقليدس (300 قبل الميلاد) اللانهائية من الأعداد الأولية والنظرية الأساسية للحساب ، وتوضح كيفية بناء عدد مثالي من أولية ميرسين. اختراع يوناني آخر ، غربال إراتوستينس ، لا يزال مستخدمًا لإنشاء قوائم بالأعداد الأولية.
  • منذ عام 1951 ، تم العثور على أكبر الأعداد الأولية المعروفة باستخدام هذه الاختبارات على أجهزة الكمبيوتر. ] تحطمت فكرة أن الأعداد الأولية لها تطبيقات قليلة خارج الرياضيات البحتة [ب] في السبعينيات عندما تم اختراع تشفير المفتاح العام ونظام تشفير RSA ، باستخدام الأعداد الأولية كأساس لها.
  • لم يعتبر معظم الإغريق الأوائل أن الرقم 1 هو رقم ، لذلك لم يتمكنوا من اعتباره البدائي. اعتبر عدد قليل من علماء الرياضيات من هذا الوقت أيضًا أن الأعداد الأولية هي تقسيم فرعي للأعداد الفردية ، لذلك لم يعتبروا أن الرقم 2 هو عدد أولي. ومع ذلك ، اعتبر إقليدس وأغلبية علماء الرياضيات اليونانيين الآخرين 2 كرقم أولي. اتبع علماء الرياضيات الإسلاميون في العصور الوسطى الإغريق إلى حد كبير في اعتبارهم 1 على أنه ليس رقمًا. بحلول العصور الوسطى وعصر النهضة ، بدأ علماء الرياضيات في التعامل مع الرقم 1 كرقم ، وأدرجه بعضهم باعتباره أول عدد أولي. في منتصف القرن الثامن عشر ، وضع كريستيان جولدباخ الرقم 1 كأول رئيسي في مراسلاته مع ليونارد أويلر. ومع ذلك ، لم يعتبر أويلر نفسه أن الرقم 1 عدد أولي. في القرن التاسع عشر ، كان العديد من علماء الرياضيات لا يزالون يعتبرون الرقم 1 رئيسًا ،  واستمر نشر قوائم الأعداد الأولية التي تضمنت 1 حتى عام 1956. إذا تم تغيير تعريف العدد الأولي لاستدعاء 1 عددًا أوليًا ، فستحتاج العديد من العبارات التي تتضمن أعدادًا أولية إلى إعادة صياغتها بطريقة أكثر صعوبة. على سبيل المثال ، قد تحتاج النظرية الأساسية للحساب إلى إعادة صياغتها من حيث التحليل إلى عوامل إلى أعداد أولية أكبر من 1 ، لأن كل رقم سيكون له عدة عوامل مع أعداد مختلفة من نسخ 1. وبالمثل ، فإن غربال إراتوستينس لن يعمل بشكل صحيح إذا تعامل مع 1 كرقم أولي ، لأنه سيقضي على جميع مضاعفات 1 (أي جميع الأرقام الأخرى) ويخرج فقط الرقم الفردي 1. بعض الخصائص التقنية الأخرى للأعداد الأولية لا تنطبق أيضًا على الرقم 1: على سبيل المثال ، تختلف الصيغ الخاصة بدالة أويلر الكلية أو لمجموع دالة القسمة بالنسبة للأعداد الأولية عن تلك الخاصة بـ 1.  بحلول أوائل القرن العشرين ، بدأ علماء الرياضيات في الاتفاق على أنه لا ينبغي إدراج الرقم 1 باعتباره رئيسًا ، بل في فئته الخاصة باعتباره “وحدة”.
  • تنبع الأهمية المركزية للأعداد الأولية في نظرية الأعداد والرياضيات بشكل عام من النظرية الأساسية في الحساب. تنص هذه النظرية على أنه يمكن كتابة كل عدد صحيح أكبر من 1 كمنتج لواحد أو أكثر من الأعداد الأولية. وبقوة أكبر ، فإن هذا المنتج فريد من نوعه بمعنى أن أي فئتين رئيسيتين من نفس العدد سيكون لهما نفس عدد النسخ من نفس الأعداد الأولية ، على الرغم من أن ترتيبها قد يختلف. لذلك ، على الرغم من وجود العديد من الطرق المختلفة لإيجاد عامل باستخدام خوارزمية عامل عدد صحيح ، يجب أن ينتجوا جميعًا نفس النتيجة. وبالتالي يمكن اعتبار الأعداد الأولية “اللبنات الأساسية” للأعداد الطبيعية.

ما هو العدد الأولي؟

  • الرقم الأولي هو عدد أكبر من 1 مع عاملين فقط – أنفسهم و 1.
  • لا يمكن قسمة عدد أولي على أي عدد آخر دون ترك الباقي.
  • مثال على رقم أولي هو 13. لا يمكن تقسيمه إلا على 1 و 13. قسمة رقم أولي على رقم آخر ينتج عنه أرقام متبقية على سبيل المثال. 13 6 = 2 الباقي 1.
  • 15 ليس مثالاً على عدد أولي لأنه يمكن قسمة 5 و 3 على نفسه وعلى 1.
  • 15 هو مثال للرقم المركب لأنه يحتوي على أكثر من عاملين.
  • أول 10 أعداد أولية هي 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29.
  • يوجد 25 عددًا أوليًا بين 1 و 100.
  • يمكن أن تستمر الأعداد الأولية بعد 100. على سبيل المثال ، 21،577 عدد أولي.

قائمة الأعداد الأولية حتى 1000

  • الأعداد الأولية المائة والثمانية والستون الأولى والأصغر من 1000 هي : 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97، 101، 103، 107، 109، 113، 127، 131، 137، 139، 149، 151، 157، 163، 167، 173، 179، 181، 191، 193، 197، 199، 211، 223 227، 229، 233، 239، 241، 251، 257، 263، 269، 271، 277، 281، 283، 293، 307، 311، 313، 317، 331، 337، 347، 349، 353، 359، 367، 373، 379، 383، 389، 397، 401، 409، 419، 421، 431، 433، 439، 443، 449، 457، 461، 463، 467، 479، 487، 491، 499، 503، 509، 521، 523، 541، 547، 557، 563، 569، 571، 577، 587، 593، 599، 601، 607، 613، 617، 619، 631، 641، 643، 647، 653، 659، 661، 673، 677، 683، 691، 701، 709، 719، 727، 733، 739، 743، 751، 757، 761، 769، 773، 787، 797، 809، 811، 821، 823، 827، 829، 839، 853، 857، 859، 863، 877، 881، 883، 887، 907، 911، 919، 929، 937، 941، 947، 953، 967، 971، 977، 983، 991، 997.
  • أصغر عدد أولي : 2 هو أصغر عدد أولي. إنه أيضًا الرقم الأولي الزوجي الوحيد – يمكن تقسيم جميع الأعداد الزوجية الأخرى على نفسها ، 1 و 2 على الأقل ، مما يعني أنه سيكون لها 3 عوامل على الأقل.
  • أكبر عدد أولي : سجل أحد أشهر علماء الرياضيات في العصر الكلاسيكي ، إقليدس ، دليلاً على عدم وجود أكبر عدد أولي. ومع ذلك ، لا يزال العديد من العلماء وعلماء الرياضيات يبحثون للعثور عليه

كيف يتم استخدام الأعداد الأولية في العالم الحقيقي؟

  • يعد الأمن السيبراني أحد أهم استخدامات الأعداد الأولية – مما يجعل المعلومات التي يتم مشاركتها عبر الإنترنت أكثر أمانًا.
  • من أجل تشفير (جعلها آمنة) أشياء مثل تفاصيل بطاقة الائتمان والسجلات الطبية وحتى بعض خدمات المراسلة مثل WhatsApp ، يقوم مهندسو البرمجيات بعمل خوارزميات باستخدام الأرقام الأولية.
  • بضرب عددين أوليين كبيرين معًا (بعض الشركات تستخدم الأعداد الأولية التي تتكون من مئات الخانات!) ، فإننا ننشئ عددًا أكبر لا نعرفه إلا عن طريق عوامله الأصلية (الرقمان الأوليان الكبيران جدًا). ثم نستخدم هذا الرقم الأكبر لتشفير معلوماتنا.
  • إذا أراد أي شخص آخر اكتشاف المعلومات التي نرسلها ، فعليه معرفة العوامل الأصلية. مع الأعداد الأولية طالما تلك التي استخدمناها ، قد يستغرق الأمر سنوات أو حتى عقودًا من التجربة والخطأ المستمر قبل أن يعثروا على واحد. هذا يضمن الحفاظ على معلوماتنا آمنة.

معلومات مختصرة حول الأعداد الأولية

  • هل رقم 1 هو عدد أولي؟ رقم 1 ليس عددًا أوليًا لأنه يحتوي على عامل واحد فقط ، وهو 1. تحتاج الأعداد الأولية إلى عاملين بالضبط
  • هل 2 عدد أولي؟ 2 عدد أولي لأنه يحتوي على عاملين , نفسه و 1.
  • هل 51 عدد أولي؟ 51 ليس عددًا أوليًا لأنه يمكن تقسيمه على 3 و 17 ، وكذلك على نفسه و 1. أي أنه يحتوي على أربعة عوامل.
  • تقيم المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور المركزي للأعداد الأولية في نظرية الأعداد: كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 يساوي ضَرب مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر عن ترتيب هؤلاء الأعداد داخل هذهِ المجموعة). فإن هذهِ المبرهنة تستلزم إقصاء 1 من لائحة الأعداد الأولية.
  • لأجل تحديد هل العدد أولي أم لا؟ توجد طريقة سهلة ولكنها بطيئة، تسمى القسمة المتكررة، وتتمثل في قسمة هذا العدد على الأعداد المحصورة بين 2 والجذر التربيعي للعدد المعين. توجد خوارزميات أخرى أكثر فعالية من القسمة، تستعمل في تحديد أولية الأعداد الكبيرة، وخصوصا عندما يتعلق الأمر بأعداد ذات شكل خاص كأعداد ميرسين الأولية. وفي 21 ديسمبر 2018، تألف أكبر عدد أولي تم الوصول إليه من 24,862,048 رقما.
  • مجموعة الأعداد الأولية مجموعة غير منتهية. وقد برهن على ذلك أقليدس في حوالي عام 300 قبل الميلاد. لا تعرف صيغة ما، جميع قيمها أعداد أولية. ولكن توزيع الأعداد الأولية يمكن أن يخضع للدرس وأن تقام حولهُ النظريات. إن أول مبرهنة تذهب في هذا الاتجاه هي مبرهنة الأعداد الأولية، والتي بُرهن عليها في نهاية القرن التاسع عشر والتي بموجبها الاحتمال أن يكون عدد طبيعي ما n، اختير بصفة عشوائية، أولياً، يتناسب عكسيا مع عدد الأرقام التي يحتوي عليها هذا العدد. وبتعبير آخر، يتناسب عكسيا مع اللوغاريتم الطبيعي للعدد n.
  • خضعت الأعداد الأولية لبحوث عديدة، مع ذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية مثل فرضية ريمان و حدسية غولدباخ التي تنص على أن أي عدد زوجي أكبر قطعاً من 2، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عددين أوليين، وحدسية الأعداد الأولية التوأم والتي تنص على أن عدد الأزواج من الأعداد الأولية والتي يكون الفرق بينهما مساويا ل2 هو عدد غير منته، وهنالك مسائل غير محلولة حتى الآن بالرغم من مرور أكثر من قرن على طرحها. والسبب الأساسي يعود إلى عدم فهم العلماء لطريقة توزيع الأعداد الأولية، على عكس الأعداد الفردية أو الزوجية على سبيل المثال، وكانت هذه المعضلات سببا في تطورات كثيرة عرفتها نظرية الأعداد، التي اهتمت بالخصائص الجبرية والتحليلية للأعداد. وتستعمل الأعداد الأولية في عدة مجالات في تكنولوجيا المعلومات كالتشفير باستخدام المفتاح المعلن. حيث تعتمد أساسا هذهِ التقنية على خصائص معينة كصعوبة تعميل الأعداد الكبيرة إلى جداء أعداد أولية.
  • يكون عدد طبيعي ما أوليا إذا كان أكبر قطعا من 1 وكان له قاسمان اثنان، 1 والعدد نفسه. الأعداد الطبيعية الأكبر قطعا من 1 والغير أولية قد تسمى أعداداً مركبةً أو مؤلفةً (لا ينبغي الخلط مع الأعداد المركبة والتي تسمى أيضا الأعداد العقدية).

هل العدد 1 عدد أولي ؟

لم يعتبر معظم الإغريق العدد 1 على أنه عدد. ولهذا، لم يعتبروه أوليا. بينما في القرن التاسع عشر، اعتبره عدد من علماء الرياضيات أوليا. على سبيل المثال، اللائحة التي كونها ديريك نورمان ليهمر من الأعداد الأولية الأصغر من 10,006,721، والتي طبعت لآخر مرة في عام 1956، ابتدأت بالعدد 1. حتى القرن التاسع عشر، كان علماء الرياضيات يعتبرون 1 عددا أوليا، بما أن تعريف الأعداد الأولية كان آنذاك هو كل عدد لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. ويقال أن عالم الرياضيات هنري ليون لوبيغ هو آخر عالم رياضيات اعتبر 1 أوليا. رغم أن الجزء الكبير من الأعمال في الرياضيات يبقى صحيحا إذا اعتُبر 1 عددا أوليا، ولكن المبرهنة الأساسية في الحسابيات لا تبقى صحيحة. على سبيل المثال، العدد 15 يمكن أن يُعمّل إلى 3×5 أو إلى 1×3×5. إذا كان 1 أوليا، هذان الشكلان الاثنان مختلفان عن بعضهما البعض مما يجعل نص المبرهنة خاطئا. بالإضافة إلى ذلك، للأعداد الأولية مجموعة من الخصائص لا يملكها العدد 1. من بينها العلاقة التي تربط عددا ما بقيمة دالة مؤشر أويلر أو بدالة مجموع القواسم.

في الختام, فان معرفة القواعد الاساسية للرياضيات امر مهم في مختلف حياتنا اليومية, ومعرفة الأعداد الأولية وتطبيقاتها يعتبر على رأس قائمة هذه الأولويات.

Check Also

أفضل عشر كتب في الطب

تعتبر مهنة الطب من أقدم المهن على الأرض, فوجود الأمراض ومحاولة علاجها أمر قديم ظهر …